Question

15．C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=4$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$|=2$\sqrt{5}$，$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PB}|}$，$\overrightarrow{PI}$=λ$\overrightarrow{IC}$，$\overrightarrow{BI}$=$\overrightarrow{BA}$+m（$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$），m＞0，则λ=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 根据向量的正交分解，将$\overrightarrow{AI}$沿$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{AC}$方向分解，设得到两个向量为$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AE}$，得到四边形ADIE为菱形，由菱形的性质及根据角平分线定理即可求出．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PB}|}$，
∴PC平分∠APB，
将$\overrightarrow{AI}$沿$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{AC}$方向分解，设得到两个向量为$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AE}$，
设$\overrightarrow{AD}$为m倍的$\overrightarrow{AP}$方向上的单位向量，$\overrightarrow{AE}$为m倍的$\overrightarrow{AB}$方向上的单位向量，
∵单位向量的模长为1，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{AE}$|=m，
∴四边形ADIE为菱形，
∴AI平分∠PAC，
∵|$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{BA}$|=2$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=4$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{PI}$=λ$\overrightarrow{IC}$，
∴根据角平分线定理，得λ=$\frac{\overrightarrow{PI}}{\overrightarrow{IC}}$=$\frac{\left|\overrightarrow{PI}\right|}{\left|\overrightarrow{IC}\right|}$=$\frac{\left|\overrightarrow{PA}\right|}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}$=4，
故选：C．

点评 本题考查了向量的正交分解，以及有关四边形和角平分线的性质，属于中档题