Question

已知椭圆的焦距为2c，左准线为l，长轴顶点为、，过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线与分别交l于M、N两点

(1)试问在线段(O为原点)上是否能找到一点Q，使得对于上述的点P，恒为直角，若能，求出点Q的坐标；若不能说明理由；

(2)如图，设直线NR与椭圆交于点B，与y轴交于点C，当直线PN的斜率为时，点B恰为线段RC的中点，求此椭圆的离心率．

Answer 1

答案：
解析：

(2) (1)当点P运动到特殊位置(0，b)时，直线的方程为bx＋ay＝ab，求得，同法求得，，设，，， 由解得，推测：椭圆的左焦点F(－c，0)满足条件． 证明：设椭圆上任意一点，椭圆的左焦点为F(-c，0)，则直线的方程为：，令，求得点N的坐标为，，又直线的方程为：，令，求得点M的坐标为，，则直线MF的斜率，直线NF的斜率， ．因为点，在椭圆上，则，即，所以，所以，即恒为直角(Q与F重合)． (2)直线的方程为，求得，，且Q与F重合．直线BN的斜率，所以直线BN的方程为，点C的坐标为(0，-c)，因为B是CF中点，则点B的坐标是，，把点B的坐标代入到椭圆方程中得：1，即，整理得：，，或(舍去)，所以