Question

19．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、G、H分别是BC、C₁D₁、AA₁、的中点．
（Ⅰ）求异面直线D₁H与A₁B所成角的余弦值
（Ⅱ）求证：EG∥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接D₁C和CH，可证A₁B∥D₁C，可得∠HD₁C或其补角为异面直线D₁H与A₁B所成的角，设正方形边长为2，则在△D₁HC中根据余弦定理可求cos∠HD₁C的值，从而得解．
（Ⅱ）连接BD与AC交于点O，连接D₁O，OE，GE，可证四边形OEGD₁是平行四边形，即可证明$GE\underline{\underline{∥}}{D_1}O$，从而得证．

解答 解：（Ⅰ）连接D₁C和CH，
∵A₁D₁$\underline{\underline{∥}}$B₁C₁$\underline{\underline{∥}}$BC，
∴四边形A₁BCD₁为平行四边形，
∴A₁B∥D₁C，
∴∠HD₁C或其补角为异面直线D₁H与A₁B所成的角，…（3分）
∴设正方形边长为2，则在△D₁HC中，${D_1}H=\sqrt{5}，{D_1}C=2\sqrt{2}，HC=3$，
根据余弦定理，$cos∠H{D_1}C=\frac{5+8-9}{{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
则异面直线D₁H与A₁B所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（7分）
（Ⅱ）证明 连接BD与AC交于点O，连接D₁O，OE，GE，
∵$OE\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}CD，{D_1}G\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}CD$，
∴$OE\underline{\underline{∥}}{D_1}G$，
∴四边形OEGD₁是平行四边形，…（9分）
∴$GE\underline{\underline{∥}}{D_1}O$，GE?面BB₁D₁D，D₁O?面BB₁D₁D
∴EG∥面BB₁D₁D…（13分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，余弦定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．