Question

10．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA=BC=2，AB=4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）求二面角S-ND-B的余弦值；
（3）求点M到平面SND的距离．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点E，连接ME，NE．则ME∥SA，由线面垂直得ME⊥AB，由直角性质得NE⊥AB，从而AB⊥平面MNE，由此能证明MN⊥AB．
（2）过A作AF⊥DN且与DN的延长线相交于点F，连接SF，由已知得∠SFA是二面角S-ND-A的平面角，也是二面角S-ND-B的平面角的补角，由此能示出二面角S-ND-B的余弦值．（3）过点A作AH⊥SF于H，由已知得AH的长为点A到平面SND的距离，点M到平面SND的距离是点C到平面SND的距离的$\frac{1}{2}$倍，点C到平面SND的距离等于点A到平面SND的距离，由此能求出点M到平面SND的距离．

解答 （本题满分14分）
（1）证明：取AC的中点E，连接ME，NE．则ME∥SA，
又SA⊥平面ABC，∴ME⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC，∴ME⊥AB．（1分）
∵N，E分别为AB，AC的中点，∴NE∥BC．
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，∴NE⊥AB．
∵ME∩NE=E，ME?平面MNE，NE?平面MNE，
∴AB⊥平面MNE．（3分）
∵MN?平面MNE，∴MN⊥AB．（4分）
（2）解：过A作AF⊥DN且与DN的延长线相交于点F，连接SF
∵SA⊥DF，AF⊥DF，SA∩AF=A，∴DF⊥平面SAF，∴DF⊥SF
∴∠SFA是二面角S-ND-A的平面角，也是二面角S-ND-B的平面角的补角，----（7分）
在Rt△DBN中，$ND=\sqrt{D{B^2}+N{B^2}}=\sqrt{5}$，$sin∠DNB=\frac{DB}{ND}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
在Rt△AFN中，AF=AN$sin∠ANF=2×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
在Rt△SAF中，$SF=\sqrt{S{A^2}+A{F^2}}$=$\frac{{2\sqrt{30}}}{5}$，$cos∠AFS=\frac{AF}{SF}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
∴二面角S-ND-B的余弦值为$-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．（10分）
（3）解：过点A作AH⊥SF于H，
由（2）知平面SAF⊥平面SND，且平面SAF∩平面SND=SF，
∴AH⊥平面SND．∴AH的长为点A到平面SND的距离．
在Rt△AFN中，$AH=\frac{SA•AF}{SF}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．（12分）
∵点M是SC的中点，∴点M到平面SND的距离是点C到平面SND的距离的$\frac{1}{2}$倍．
∵AC∥ND，∴AC∥平面SND．
∴点C到平面SND的距离等于点A到平面SND的距离．
∴点M到平面SND的距离是$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．（14分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．