Question

20．在空间四边形ABCD中，设AB⊥CD，AC⊥BD．
求证：（1）AD⊥BC；
（2）点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．

Answer 1

分析 作AP垂直于平面BDC，P是垂足，连接CP，DP，BP，CP，DP，BP分别是AC，AD，AB在平面ABC内的射影，由AC⊥BD，AB⊥CD，知点P是△BDC的垂心．故DP垂直于BC．由三垂线定理，知AD⊥BC．

解答 证明：（1）作AP垂直于平面BDC，P是垂足，连接CP，DP，BP，
CP，DP，BP分别是AC，AD，AB在平面BCD内的射影，
∵AC⊥BD，
∴由三垂线定理的逆定理知BD⊥CP．
∵AB⊥CD，
∴由三垂线定理的逆定理知CD⊥BP
∴点P是△BDC的垂心．
∴DP垂直于BC．
由三垂线定理，知AD⊥BC．
（2）由（1）证明，可得点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．

点评 本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂线定理及其逆定理的灵活运用．