Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|＝2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若·＝0，求直线PQ的方程；

(3)设＝λ(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明＝－λ．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由题意，可设椭圆的方程为＋＝1(a＞)． 　　由已知得 　　解得a＝，c＝2 　　所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e＝． 　　(2)解：由(1)可得A(3，0)． 　　设直线PQ的方程为y＝k(x－3)．由方程组 　　 　　得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0 　　依题意Δ＝12(2－3k2)＞0，得－＜k＜． 　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 　　x1＋x2＝，　　①　　x1x2＝．　　② 　　由直线PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)．于是 　　y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]． 　　∵||·||＝0，x1x2＋y1y2＝0．　　④ 　　由①②③④得5k2＝1，从而k＝±∈(－，)． 　　所以直线PQ的方程为x－y－3＝0或x＋y－3＝0 　　(2)证明：＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)．由已知得方程组 　　注意λ＞1，解得x2＝． 　　因F(2，0)，M(x1，－y1)，故＝(x1－2，－y1)＝(λ·(x2－3)＋1，－y1)＝(，－y1)＝－λ(，y2)． 　　而＝(x2－2，y2)＝(，y2)，所＝－λ． 　　分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．