对数列{an}.规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列.其中△an=an+1-an(n∈N*),一般地.规定{△kan} 为数列{an}的k阶差分数列.其中△kan=△k-1an+1-△k-1an(k∈N*.k≥2)．已知数列{an}的通项公式an=n2+n(n∈N*).则以下结论正确的序号为①④①④．①△an=2n+2, ②数列{△3an}既是等差数列.又是等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n} 为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（k∈N^*，k≥2）．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），则以下结论正确的序号为

①④

．
①△a_n=2n+2；
②数列{△³a_n}既是等差数列，又是等比数列；
③数列{△a_n}的前n项之和为a_n=n²+n；
④{△²a_n}的前2014项之和为4028．

分析：根据k阶差分数列的定义，分别代入公式进入验证即可．

解答：解：①∵△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，an=n2+n．
∴△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，故①正确．
②∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，
∴对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故数列{△³a_n}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．
③数列{△a_n}的前n项之和为△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-（1+1）=n²+3n，故③不正确．
④△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，{△²a_n}的前2014项之和为 2×2014=4028，故④正确．
故答案为：①④．

点评：点评：本小题以新定义为载体主要考查等差数列、等比数列的定义的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法，还考查了把新的定义转化为利用所学知识进行求解的能力．