对数列{an}.规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列.其中△an=an+1-an(n∈N*),一般地.规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列.其中△kan=△k-1an+1-△k-1an(k∈N*.k≥2)．已知数列{an}的通项公式an=n2+n(n∈N*).则以下结论正确的序号为①④①④．①△an=2n+24, ②数列{△3an}既是等差数列.又是等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N^*，k≥2）．已知数列{a_n}的通项公式an=n2+n（n∈N^*），则以下结论正确的序号为

①④

．
①△a_n=2n+24；
②数列{△³a_n}既是等差数列，又是等比数列；
③数列{△a_n}的前n项之和为an=n2+n；
④{△²a_n}的前2014项之和为4028．

分析：根据△a_n=a_n+1-a_n计算可得①不正确．根据△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，得{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故②不正确．
计算数列{△a_n}的前n项之和的值，可得③不正确．根据{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，求得{△²a_n}的前2014项之和的值，可得④正确．

解答：解：由于△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，△kan=△k-1an+1-△k-1an，an=n2+n．
故△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-[n²+n]=2n+2，故①不正确．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故数列{△³a_n}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．
数列{△a_n}的前n项之和为△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-[1+1]=n²+3n，故③不正确．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，{△²a_n}的前2014项之和为 2×2014=4028，故④正确．

点评：本小题以新定义为载体主要考查等差数列、等比数列的定义的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法，还考查了把新的定义转化为利用所学知识进行求解的能力．