Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，且过点，其右焦点为．点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，连接并延长交椭圆于点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与右准线交于点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

（1）由离心率得出a、b、c的等量关系，再将点A的坐标代入椭圆方程，可求出a、b、c的值，从而得出椭圆C的标准方程；（2）解法1：设点P（x0，y0）（y0≠0），对PF与x轴是否垂直进行分类讨论，在两种情况下求中点M的坐标，写出直线OM的方程，并求出点N的坐标，结合条件MN＝2OM以及点P的坐标椭圆C的方程可求出点P的坐标；解法2：对直线PQ与x轴是否垂直进行分类讨论，在第一种情况PQ⊥x轴时，分别求出点M、N的坐标，并对条件MN＝2OM进行验证是否满足题意；第二种情况就是直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，并求出线段PQ的中点M的坐标，由MN＝2ON得出k的值，从而得出点P的坐标．

（1）由题意可知解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）法1：设（）．

当时，点坐标为，点坐标为，，不符合题意；

当时，直线的方程为，代入的方程，消去整理得

，

所以中点的横坐标，因为，椭圆的右准线为，所以，从而，即． 又因为，所以，解得或，故点的坐标为或．

法2：当直线的斜率不存在时，点坐标为，点坐标为，，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线：，联立得

，所以中点的横坐标，因为，椭圆的右准线为，所以，从而，解之得．当时，：，联立得或；

当时，：，联立得或．

故点的坐标为或．