题目内容

若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥
1
n
． （n≥2，n∈N）
由柯西不等式（a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1）×(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)
≥（a1+a2+…+an）2=1．
即2(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)≥（a1+a2+…+an）2=1．
(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)≥
1
2
，
令a1=a2=…=a1=
1
n
，得a12+a22+…+an2≥
1
n
． （n≥2，n∈N）．
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若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥
1n
． （n≥2，n∈N）
（2013•徐汇区一模）（理）若平面向量
a
满足|
a
i|=1（i=1，2，3，4）且
ai
•
ai+1
=0（i=1，2，3），则|
a1
+
a2
+
a3
+
a4
|可能的值有
3
3
个．
（文科做）已知点A1（2，0），A2（1，t），A3（0，b），A4（-1，t），A5（-2，0），其中t＞0，b为正常数．
（1）半径为2的圆C1经过Ai（i=1，2，…，5）这五个点，求b和t的值；
（2）椭圆C2以F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4．若AiF1+AiF2=4（i=1，2，…，5），试用b表示t；
（3）在（2）中的椭圆C2中，两线段长的差A1F1-A1F2，A2F1-A2F2，…，A5F1-A5F2构成一个数列{an}，求证：对n=1，2，3，4都有an+1＜an．（本小题解答中用到了椭圆的第一定义与焦半径公式，新教材实验区的学生可不解第三小题，请学习时注意）
若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，证明：a12+a22+…+an2≥． （n≥2，n∈N）

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