Question

已知双曲线的两焦点为，P为动点，若，
（Ⅰ）求动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）若，设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线与交于点S，试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知：，又∵，
∴动点必在以为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴a=2，
又∵，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意，可设直线l为：
取m=0，得，直线的方程是
直线的方程是，交点为，
若，由对称性可知交点为，若点S在同一条直线上，
则直线只能为
②以下证明对于任意的m，直线与直线的交点S均在直线上．
事实上，由，得，即，记，
则．
设与交于点由，得，
设与交于点，由，得，
∵==，
∴，即与重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线上。