Question

已知双曲线的两焦点为，为动点，若．

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，

长轴长为4的椭圆，∴，又∵，．  

∴椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意，可设直线为：．

①     取得，直线的方程是

直线的方程是交点为    

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为．

②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．

事实上，由，得即，

记，则．

设与交于点由得

设与交于点由得

，           

∴，即与重合，

这说明，当变化时，点恒在定直线上．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为

取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．

事实上，由，得即，

记，则．

的方程是的方程是

消去得……………………………………   ①

以下用分析法证明时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明

即证即证………………  ②

∵∴②式恒成立．

这说明，当变化时，点恒在定直线上．

解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得即．

记，则．

的方程是的方程是   

由得

即

    ．

这说明，当变化时，点恒在定直线上．