Question

已知椭圆C：的焦距为，离心率为，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．
（Ⅰ）若，求△ABF外接圆的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的简单性质求得它的标准方程，设A（x，y），由，求得A的坐标，由此求得三角形外接圆的半径，即可求得外接圆的方程．
（Ⅱ）由题意可知直线GH的斜率存在，把GH的方程代入椭圆，由判别式大于零求得（*）．再由 ，求得，结合（*）得．根据，即（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），结合点P在椭圆上可得16k²=t²（1+2k²），从而求得实数t的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意知：，，又a²-b²=c²，
解得：，∴椭圆C的方程为：．…（2分）
可得：，，设A（x，y），则，，
∵，∴，即．
由，或，
即，或…（4分）
①当A的坐标为时，，
∴△ABF外接圆是以O为圆心，为半径的圆，即x²+y²=3．…（5分）
②当A的坐标为时，k_AF=1，k_BF=-1，所以△ABF为直角三角形，其外接圆是以线段AB为直径的圆，
圆心坐标为，半径为，
∴△ABF外接圆的方程为．
综上可知：△ABF外接圆方程是x²+y²=3，或．…（7分）
（Ⅱ）由以上可得，椭圆N：即 ，即 ．
由题意可知直线GH的斜率存在，设GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），
由得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：（*）． …（9分）
由于 ，∵，
∴，即，∴，
∴，再结合（*）得：．…（11分）
∵，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）
从而，．
∵点P在椭圆上，∴，整理得：16k²=t²（1+2k²），
即，∴，或，
即实数t的取值范围为 （-2，-∪（，2）．…（13分）
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，求圆的标准方程得方法，直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的运算，属于中档题．