Question

若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A′(1,0)的距离和为定值m,试求P点的轨迹方程.

Answer 1

解:∵|PA|+|PA′|=m,|AA′|=2,|PA|+|PA′|≥|AA′|,

∴m≥2.

(1)当m=2时,P点的轨迹就是线段AA′.

∴其方程为y=0(-1≤x≤1).

(2)当m＞2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A、A′为焦点的椭圆.

∵2c=2,2a=m,

∴a=,c=1,b²=a²-c²=-1.

∴点P的轨迹方程为+=1.

点拨:平面内一动点到两定点的距离和等于常数时,动点的轨迹不一定是椭圆.当动点到两定点的距离和等于两定点之间的距离时,动点的轨迹是线段;当动点到两定点的距离和(常数)大于两定点之间的距离时,动点的轨迹是椭圆.