Question

如图，P是圆x²+y²=4上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足

DM

=

1

2

DP

．
（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点N（3，0）的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
（3）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形（A，B意义同（2）），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设点M（x，y），P（x₀，y₀），将其代入点M满足

DM

=12

DP

，用点M的坐标表示点P的坐标，代入圆x²+y²=4，化简即可求得动点M的轨迹C的方程，根据方程可知曲线的形状；
（2）设点E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题意设直线l的方程为y=k（x-3），联立方程，利用韦达定理，

OE

=

OA

+

OB

，即可求得顶点E的轨迹方程；
（3）若存在点Q（a，0），使得四边形QAFB为菱形，可得QA=AB，代入，因式分解，利用韦达定理，用k表示a，转化为求函数的值域问题．

解答：解：（1）设点M（x，y），P（x₀，y₀），
∵点M满足

DM

=

1

2

DP

．
∴x₀=x，y₀=2y
∵点P是圆x²+y²=4上的动点，
∴x²+4y²=4
即动点M的轨迹C的方程：

x2

4

+y2=1，其图形为椭圆．

（2）设点E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据题意设直线l的方程为y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0
∵直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，
∴△=（-24k²）²-4（1+4k²）（+36k²-4）＞0，解得-

5

5

＜k＜

5

5

，
x₁+x₂=

24k2

1+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）=

-k

1+4k2

；
∵

OE

=

OA

+

OB

，即

x=x1+x2 y=y1+y2

，
∴x=

24k2

1+4k2

，y=

-6k

1+4k2

，
∴顶点E的轨迹方程：x2+4y2-6x=0  (0＜x＜

8

3

)．

（3）四边形QAFB为菱形，则QA=AB，即（x₁-a）²+y₁²=（x₂-a）²+y₂²，
∴k=

y2-y1

x2-x1

= -

x1+x2-2a

y1+y2

=-

24k2-2a(1+4k2)

-6k

，
∴a=

18k2

2(1+4k2)

=

9

4+ 1 k2

，0＜k²＜

1

5

，解得0＜a＜1，
∴实数a的取值范围：（0，1）．

点评：考查代入法求轨迹方程，以及直线与圆锥曲线的综合问题，这里侧重与几何图形的几何性质的考查，是把几何问题转化为代数问题的桥梁，综合性较强，特别是（3）的设问，把几何问题和函数的值域结合起来，增加了题目的难度，属难题．