Question

（2011•武昌区模拟）如图，已知点P是圆C：x2+(y-2

2

)2=1上的一个动点，点Q是直线l：x-y=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量

OP

在向量

OQ

上的投影的最大值是（　　）

• A．3
• B．2+

  2

  2

• C．3

  2

• D．1

Answer 1

分析：设

OP

，

OQ

夹角为θ，则向量

OP

在向量

OQ

上的投影等于|

OP|

cosθ=

OP • OQ

| OQ |

．分析出θ应为锐角，设P（x，y），不妨取Q（1，1），转化为求x+y的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．

解答：解：设

OP

，

OQ

夹角为θ，则向量

OP

在向量

OQ

上的投影等于|

OP|

cosθ，若取得最大值则首先θ为锐角．
设P（x，y），不妨取Q（1，1），则根据向量数量积的运算得出|

OP|

cosθ=

OP • OQ

| OQ |

=

x+y

2

①
由于P是圆C：x2+(y-2

2

)2=1上的一个动点，设

x=cosα y=2 2 +sinα

②
将②代入①得出|

OP|

cosθ=

2

2

（cosα+sinα+2

2

），而cosα+sinα的最大值为

2

，
所以|

OP|

cosθ≥

2

2

×3

2

=3
故选A．

点评：本题考查向量投影的计算，最值问题求解，考查转化、计算能力．