Question

（08年衡阳八中文）（12分）

如图，“双塔”形立体建筑的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°，再在面的上方，分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB＝90°．

（1）求证：；

（2）求PB与平面ACQP所成的角；   

（3）求点P到平面QBD的距离；

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）作PM⊥平面，垂足为M，作QN⊥平面，垂足为N，则PM∥QN，由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥知M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，且PMNQ为矩形．

∴PQ‖AC    ∴                        ……………………4分

（2）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰△．取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，从而∠BPE是PB与平面ACQP所成的角，由（1）可得ME＝NE＝，PE＝QE＝，PB＝，

∴　cos∠PEQ＝，

即PB与平面ACQP所成的角为．……………………8分

（3）　由（1）知BD⊥平面PEQ．作PFQE于F，则点P到平面QBD的距离为PF的长，则

 

∴　点P到平面QBD的距离为．      ……………12分