Question

【题目】.已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）设，若当，且时，，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，分为，，三种情形，根据导数与0的关系得到单调性；

（2）结合（1）易得当时，，当时，可得由，令，，已知可化为在上恒成立，根据函数的单调性求出整数的最小值即可.

（1），，

①当时，因为，所以在上单调递减，

②当时，令，解得，

令，解得；

即在上单调递减，在上单调递增；

③当时，因为，等号仅在，时成立，

所以在上单调递增，

（2），当时，因为，由（1）知，所以（当时等号成立），所以.

当时，因为，所以，所以，

令，，已知化为在上恒成立，

因为，令，，则，

在上单调递减，又因为，，

所以存在使得，

当时，，，在上单调递增；

当时，，，在上单调递减；

所以，

因为，所以，所以，

所以的最小整数值为.