Question

已知四棱锥P-ABCD的侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且AB=AP=a．
（I）若E、F分别是PA、BC的中点，证明EF∥平面PCD；
（II）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）取PD中点M，连接EM，MC则EM∥AD，EM=0.5AD=0.5BC=FC，从而四边形EFCM是平行四边形，则EF∥CM，又CM?平面PCD，EF?平面PCD，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面PCD．
（II）连接BD，设点A到平面PBD的距离为h，根据（I）知PA⊥底面ABCD，△PBD是边长为的正三角形，根据，建立等式关系解之即可求出所求．
解答：解：（I）取PD中点M，连接EM，MC则EM∥AD，（2分）
EM=0.5AD=0.5BC=FC，
∴四边形EFCM是平行四边形，即EF∥CM．
又CM?平面PCD，
EF?平面PCD，因此EF∥平面PCD．（6分）
（II）连接BD，设点A到平面PBD的距离为h，
则由（I）知PA⊥底面ABCD，△PBD是边长为的正三角形，
而由，（9分）
即S_△PBD×h=S_△ABD×PA．
又，，
∴
故点A到平面PBD的距离为．（12分）
点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．