Question

设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①对任意正实数a、b都有f(a·b)= f(a)+ f(b)-p,其中p为正常数；②f(2)=p-1;③当x＞1时总有f(x)＜p.

(1)求f(1)及f()的值(写成关于p的表达式)；

(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数；

(3)设a_n=f(2ⁿ)，n∈N，求数列{a_n}的通项公式a_n(关于p的表达式).

Answer 1

(1)解：取a=b=1，则f(1)=2f(1)-p,故f(1)=p.

又f(1)=f(2·)=f(2)+f()-p，且f(2)=p-1,得f()=f(1)-f(2)+p=p-(p-1)+p=p+1.

(2)证明：设0＜x₁＜x₂,

∴f(x₂)-f(x₁)=f(·x₁)-f(x₁)

=［f()+f(x₁)-p］-f(x₁)

=f()-p.

依0＜x₁＜x₂，可得＞1.

又依据当x＞1时，总有f(x)＜p成立，可得f()＜p.

∴f(x₂)-f(x₁)＜0.故f(x)在(0,+∞)上是减函数.

(3)解：∵a_n=f(2ⁿ),

∴a _n+1=f(2ⁿ⁺¹)=f(2·2ⁿ)=f(2)+f(2ⁿ)-p=(p-1)+a_n-p=a_n-1.

∴a _n+1-a_n=-1.

又a₁=f(2)=p-1,∴数列{a_n}是以a₁=p-1为首项，公差为-1的等差数列.

∴a_n=a₁+(n-1)d=(p-1)-(n-1)=-n+p.