题目内容
设定义在[0,2]上的函数f(x)满足下列条件:
①对于x∈[0,2],总有f(2-x)=f(x),且f(x)≥1,f(1)=3;②对于x,y∈[1,2],若x+y≥3,则f(x)+f(y)≤f(x+y-2)+1.
证明:(1)对于x,y∈[0,1],若x+y≤1,则f(x+y)≥f(x)+f(y)-1
(2)f(
)≤
+1(n∈N*);
(3)x∈[1,2]时,1≤f(x)≤13-6x.
①对于x∈[0,2],总有f(2-x)=f(x),且f(x)≥1,f(1)=3;②对于x,y∈[1,2],若x+y≥3,则f(x)+f(y)≤f(x+y-2)+1.
证明:(1)对于x,y∈[0,1],若x+y≤1,则f(x+y)≥f(x)+f(y)-1
(2)f(
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(3)x∈[1,2]时,1≤f(x)≤13-6x.
分析:(1)由f(2-x)=f(x)知,函数f(x)图象关于直线x=1对称,则根据②可知:对于x,y∈[0,1],若x+y≤1,
两者结合即得;
(2)先利用单调函数的定义证明f(x)在[0,1]上是不减函数,利用f(
)=f(
+
+
)≥f(
+
)+f(
)-1≥3f(
)-2,进行放缩结合等比数列的求和即得;(3)对于任意x∈(0,1],则必存在正整数n,使得
≤x≤
.因为f(x)在(0,1)上是不减函数,所以f(
)≤f(x)≤f(
),由(2)知f(
)≤
+1=6
+1≤6x+1,结合题中条件充分利用赋值法及不等式的性质即可.
两者结合即得;
(2)先利用单调函数的定义证明f(x)在[0,1]上是不减函数,利用f(
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解答:证明:(1)由f(2-x)=f(x)知,函数f(x)图象关于直线x=1对称,
则根据②可知:对于x,y∈[0,1],若x+y≤1,
则f(x+y)≥f(x)+f(y)-1.…(2分)
(2)设x1,x2∈[0,1],且x1<x2,则x2-x1∈[0,1].
∵f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)≥f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1≥0,
∴f(x)在[0,1]上是不减函数.…(4分)
∵f(
)=f(
+
+
)≥f(
+
)+f(
)-1≥3f(
)-2,
∴f(
)≤
f(
)+
≤
f(
)+
+
≤…≤
f(
)+
+…+
=
+1-
=
+1.…(8分)
(3)对于任意x∈(0,1],则必存在正整数n,使得
≤x≤
.
因为f(x)在(0,1)上是不减函数,所以f(
)≤f(x)≤f(
),
由(2)知f(
)≤
+1=6
+1≤6x+1.
由①可得f(2)≥1,在②中,令x=y=2,得f(2)≤1,∴f(2)=1.
而f(2)=f(0),∴f(0)=1,又f(
)≥f(0),∴f(
)≥1,
∴x∈[0,1]时,1≤f(x)≤6x+1..…(12分)
∵x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],且f(x)=f(2-x),
∴1≤f(2-x)≤6(2-x)+1=13-6x,
因此,x∈[1,2]时,1≤f(x)≤13-6x.….(14分)
则根据②可知:对于x,y∈[0,1],若x+y≤1,
则f(x+y)≥f(x)+f(y)-1.…(2分)
(2)设x1,x2∈[0,1],且x1<x2,则x2-x1∈[0,1].
∵f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)≥f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1≥0,
∴f(x)在[0,1]上是不减函数.…(4分)
∵f(
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∴f(
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(3)对于任意x∈(0,1],则必存在正整数n,使得
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因为f(x)在(0,1)上是不减函数,所以f(
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由(2)知f(
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由①可得f(2)≥1,在②中,令x=y=2,得f(2)≤1,∴f(2)=1.
而f(2)=f(0),∴f(0)=1,又f(
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∴x∈[0,1]时,1≤f(x)≤6x+1..…(12分)
∵x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],且f(x)=f(2-x),
∴1≤f(2-x)≤6(2-x)+1=13-6x,
因此,x∈[1,2]时,1≤f(x)≤13-6x.….(14分)
点评:本题主要考查函数单调性的性质、函数单调性的判断与证明、数列知识与函数知识的综合问题.解答关键在于对赋值法的熟练应用.

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