Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且椭圆四个顶点构成的菱形面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l ：y＝x＋m与椭圆C交于M，N两点，以MN为底边作等腰三角形，顶点为P(3，－2)，求m的值及△PMN的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据离心率和菱形面积，得到关于的方程，解出得到椭圆方程.

（2）直线与椭圆联立，利用韦达定理得到，得到中点坐标，然后利用等腰三角形三线合一，即底边中线与底边垂直，构造方程，求出中点坐标，利用弦长公式求出的长，利用点到直线的距离，求出底边上的高，从而得到的面积.

（1）椭圆四个顶点构成的菱形面积为

椭圆离心率为

又

解得，故所求椭圆C的方程为：

（2）设，，的中点为

消去得：

由韦达定理得：

，

所以

由

， 解得 ，满足

即

顶点到底边的距离为：

所求.