题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，平面
平面，
，
在
上.
（1）若点是的中点，求证：
平面
；
（2）在线段上确定点的位置，使得二面角
的余弦值为
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
为线段
的中点.
【解析】
（1）取
的中点
，连接
，
，易证
平面
，
，取
的中点
，连接
，
，证明四边形
为平行四边形后，再证明
即可得证；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标后，设
即可得
，再表示出平面的法向量后即可得方程 
，解方程即可得解.
（1）证明：取的中点，连接，，
由
可得
，
，
又 
，
平面，，
取的中点，连接，，
由点是的中点可知四边形为平行四边形，
，
又 
≌
，
，即
，
又 
平面
，
平面，
，
平面.
（2）由平面
平面
可得
平面，
以点为原点，建立如图空间直角坐标系，设
，
由已知得
,
则可得
，
，
，
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
则
，
设，由
可得点，
从而
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
令
可得
，
，解得
.
故当为线段的中点时，二面角
的余弦值为
.
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