Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增．（2）

【解析】

（1）求出函数定义域和导函数，令导数为零，找出临界值，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；

（2）分离参数，构造函数，利用导数研究该函数的值域以及单调性，从而解决问题.

（1）依题意函数的定义域为，，

令，则 ，故在单调递增，

又 ，所以当时，， 即，

当时，，即；

故在上单调递减，在上单调递增．

（2）方程化简可得，

所以方程有两解等价于方程有两解，

设，则，

令，由于，

所以在单调递减，

又，所以当时，， 即

当时，，即；

故在上单调递增，在上单调递减．

所以在时取得最大值，

又，，

所以存在，使得

又在上单调递增，所以当时，；

当时，，即.

因为在上单调递减，

且当时，，.

所以方程有两解只须满足，

解得：

所以方程有两个不同的实数解时，

实数的取值范围是.