Question

如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．

（1）若点的横坐标为，求直线的斜率；

（2）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不存在直线，使得

【解析】

试题分析：（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为．

将其代入，整理得 ．

设，，所以 ．     3分

故点的横坐标为．依题意，得，

解得 ．          5分

（Ⅱ）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．

由（Ⅰ）可得 ．               6分

因为 ，所以 ，

解得 ， 即 ．        8分

因为 △∽△，所以 ．

所以 ，     10分

整理得 ．

因为此方程无解，所以不存在直线，使得 ．        12分

考点：直线与椭圆相交的位置关系

点评：直线与椭圆相交时常联立方程借助于方程根与系数的关系整理化简，此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据处理能力