Question

设函数（a∈R）。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，记过点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线斜率为k。问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），

令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4
①当-2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜-2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为
当时，；
当时，；
当时，
故f（x）分别在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
（2）由（1）知
因为
所以
又由（1）知，
于是
若存在a，使得，则
即
亦即
再由（1）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而
所以
这与式矛盾，故不存在a，使得。