题目内容

设函数 $数学公式$ （a∈R），函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于点A（1，2）对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程g（x）=a有且仅有一个实数解，求a的值，并求出方程的解；
（3）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

解：（1）设P（x，y）为图象C₂上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，于是x'=2-x，y'=4-y，
因为P'（x'，y'）在C₁上，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．
（2）由g（x）=a得 $\text{[math]}$ ，整理得x²-ax+（3a-4）=0①
若x=2是方程①的解，则a=0，此时方程①有两个实数解x=2和x=-2，原方程有且仅有一个实数解x=-2；
若x=2不是方程①的解，则由△=a²-12a+16=0，解得 $\text{[math]}$ ．
所以，当a=0时，方程的解为x=-2；
当a= $\text{[math]}$ 时，方程的解为 $\text{[math]}$ ；
当a= $\text{[math]}$ 时，方程的解为 $\text{[math]}$ ．
（3）设x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
因为函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，所以f（x₂）-f（x₁）＞0． $\text{[math]}$ ，
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-a＞0，即a＜x₁x₂，
而x₁x₂＞4，所以a≤4．
因此a的取值范围是（-∞，4]．
分析：（1）欲求函数g（x）的解析式，先设P（x，y）为图象C₂上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），根据对称性求出P与P′坐标的关系，利用P'（x'，y'）在C₁上，即可求得函数g（x）的解析式；
（2）由g（x）=a得 $\text{[math]}$ ，整理得x²-ax+（3a-4）=0接下来讨论此方程解的情况：若x=2是方程①的解，则a=0，此时方程①有两个实数解x=2和x=-2，原方程有且仅有一个实数解x=-2；若x=2不是方程①的解，则由△=a²-12a+16=0，解得 $\text{[math]}$ 即可；
（3）利用函数单调性的定义求解，先设x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，因为函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，所以f（x₂）-f（x₁）＞0据此即可求得a的取值范围．
点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的性质、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．