Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx(a，b∈R)
（1）若x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的表达式；
（2）若f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，可得f′（-2）=0，f′（4）=0，建立方程，即可求得函数f（x）的表达式；
（2）f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，可知x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立，从而可得不等式，再将a-b用结论线性表示，即可求得结论．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=x²+ax-b
∵x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，
∴-2+4=-a，（-2）×4=-b
∴a=-2，b=8
∴f(x)=

1

3

x3-x2-8x，f′（x）=x²-2x-8；
（2）由f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，可知x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立
∴

1-a-b≤0 9+3a-b≤0

，∴

a+b≥1 3a-b≤-9

令a-b=m（a+b）+n（3a-b），则

m+3n=1 m-n=-1

，∴

m=- 1 2 n= 1 2

∴-

1

2

（a+b）+

1

2

（3a-b）≤-5
∴a-b≤-5
∴a-b的最大值为-5．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．