Question

如图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．

(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长；

(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；

(Ⅲ)求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连． 　　是正三角形，． 　　又底面侧面，且交线为． 　　侧面． 　　连，则直线与侧面所成的角为．　　　2分 　　在中，，解得．　　　3分 　　∴此正三棱柱的侧棱长为．　　　　4分 　　注：也可用向量法求侧棱长． 　　(Ⅱ)解法1：过作于，连， 　　侧面∴． 　　为二面角的平面角．　　　6分 　　在中，，又 　　，∴． 　　又 　　∴在中，．　　　　8分 　　故二面角的大小为．　　　9分 　　解法2：(向量法，见后) 　　(Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，平面，∴平面平面，且交线为，∴过作于，则平面．　　　　　10分 　　在中，．　　12分 　　∴为中点，∴点到平面的距离为．　　13分 　　解法2：(思路)取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离． 　　解法3：(思路)等体积变换:由可求． 　　解法4：(向量法，见后) 　　题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法： 　　(Ⅱ)解法2：如图，建立空间直角坐标系． 　　则． 　　设为平面的法向量． 　　由 得． 　　取　　　6分 　　又平面的一个法向量　　　7分 　　．　　8分 　　结合图形可知，二面角的大小为．　　　9分 　　　(Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，　　　10分 　　点到平面的距离＝．　　13分