Question

设复数z=3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ-argz）（0＜θ＜

π

2

）的最大值以及对应的θ值．

Answer 1

分析：由z=3cosθ+isinθ求得tg（argz）=

sinθ

3cosθ

=

1

3

tgθ，再由两角差的正切建立关于tgθ的函数，y=tg（θ-argz）=

tgθ- 1 3 tgθ

1+ 1 3 tg2θ

=

2

3 tgθ +tgθ

，再由基本不等式法求解．

解答：解：由0＜θ＜

π

2

得tgθ＞0．
由z=3cosθ+isinθ得tg（argz）=

sinθ

3cosθ

=

1

3

tgθ．（3分）
故y=tg（θ-argz）=

tgθ- 1 3 tgθ

1+ 1 3 tg2θ

（6分）=

2

3 tgθ +tgθ

∵

3

tgθ

+tgθ≥2

3

，
∴

2

3 tgθ +tgθ

≤

3

3

．（9分）
当且仅当

3

tgθ

=tgθ（0＜θ＜

π

2

）时，即tgθ=

3

时，上式取等号．
所以当θ=

π

3

时，函数y取得最大值

3

3

．（12分）

点评：本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．