Question

已知数列a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，用数学归纳法证明S_n=（n+1）a_n-n．

Answer 1

分析：先验证当n=1时成立，然后假设当n=k时成立来证明当n=k+1时成立．这里变换S_k+1=S_k+a_k+1、a_k=ak+1-

1

k+1

代入即可证明．

解答：证明：当n=1时，a₁=1
S₁=a₁=1满足条件
假设当n=k，（k＞1，k∈N）时S_k=（k+1）a_k-k成立
当n=k+1时，
∵a_k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

-

1

k+1

=ak+1-

1

k+1

则S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）a_k-k+a_k+1=（k+1）（ak+1-

1

k+1

）-k+a_k+1
=（k+1）a_k+1-1-k+a_k+1=（k+2）a_k+1-（1+k）
从而S_n=（n+1）a_n-n成立．
得证．

点评：本题主要考查数列求出和数学归纳法．数学归纳法是一种证明题常用的方法，尤其是证明比较复杂的式子成立时，能够显现其优越性．