Question

若θ是钝角，则满足等式log2(x2-x+3)=sinθ-

3

cosθ的实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由log2(x2-x+3)=sinθ-

3

cosθ=2sin(θ-

π

3

)结合已知

π

2

＜θ＜π可求2sin（θ-

π

3

）的范围，进而可得log₂（x²-x+3）的取值范围，解对数不等式可得x的范围

解答：解：∵log2(x2-x+3)=sinθ-

3

cosθ=2sin(θ-

π

3

)
∵

π

2

＜θ＜π
∴

π

6

＜θ-

π

3

＜

2π

3

∴

1

2

＜sin(θ-

π

3

)≤1
 从而有1＜log₂（x²-x+3）≤2
∴2＜x²-x+3≤4
解不等式可得

1- 5

2

≤ x ≤

1+ 5

2

故答案为：[

1- 5

2

，

1+ 5

2

]

点评：本题综合考查了辅助角公式，正弦函数的值域的求解，对数不等式的解法，是一道综合性比较好的试题．