Question

已知某四棱锥P-ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）点E在线段PC上任意移动，是否总有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）根据三视图，可得四棱锥P-ABCD的底面为边长等于1的正方形，侧棱PC⊥平面ABCD，PC=2，由此利用锥体的体积公式，即可算出四棱锥P-ABCD的体积；
（II）由PC⊥平面ABCD证出BD⊥PC，结合正方形ABCD的对角线BD⊥AC，利用线面垂直判定定理证出BD⊥平面PAC，从而证出BD⊥AE．因此当E在线段PC上任意移动时，总有BD⊥AE．

解答：解：（Ⅰ）由三视图，可知四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形
正方形的边长这1，故S_ABCD=1              …（3分）
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

S_ABCD•h=

1

3

×1×2=

2

3

cm³   …（7分）
（Ⅱ）结论：总有BD⊥AE                  …（8分）
证明：由三视图，可知PC⊥平面ABCD
∵BD?平面ABCD，∴BD⊥PC               …（10分）
又∵在正方形中BD⊥AC                   …（12分）
且AC、PC是平面PAC内的两条相交直线
∴BD⊥平面PAC
∵AE?平面PAC，∴BD⊥AE             …（14分）

点评：本题给出四棱锥的三视图，求它的体积并证明线线垂直．着重考查了三视图的认识、线面垂直的判定与性质和锥体的体积求法等知识，属于中档题．