Question

已知正四棱锥P-ABCD中，PA=2

3

，那么当该棱锥的体积最大时，它的高h=

 

．

Answer 1

分析：设出正四棱锥的底边a与高h并且根据题意得到a与h的关系，利用h表达出正四棱锥P-ABCD的体积，结合导数求解体积的最大值，进而得到高h的值．

解答：解：设正四棱锥P-ABCD的底面变长为a，高位h，
因为在正四棱锥P-ABCD中，PA=2

3

，
所以有

a2

2

+h2=12，即a²=24-2h²．
所以正四棱锥P-ABCD的体积为：y=Vp-ABCD=

1

3

a2h=8h-

2

3

h3（h＞0）
所以y′=8-2h²，令y′＞0得0＜h＜2，令y′＜0得h＞2，
所以当h=2时正四棱锥P-ABCD的体积有最大值．
故答案为2．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，正确记忆其体积公式并且能够灵活的利用导数解决最值问题．