Question

设x，y满足条件

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3

．
（1）求z=-x+y的最大值和最小值；
（2）求u=x²+y²的最大值与最小值．

Answer 1

分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义分别进行求解即可．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：
（1）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，
平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，
当直线经过点A或B时，此时直线y=x+z截距最大，z也最大．
画出直线y=x
由

x=3 x+y=0

，解得

x=3 y=-3

，即C（3，-3），此时z_min=-3-3=-6．
由

x=3 x-y+5=0

，解得

x=3 y=8

，即B（3，8），此时z_max=-3+8=5．
（2）u=x²+y²表示区域内的点P（x，y）到（0，0）的距离的平方
由图知，当P位于原点时，u最小值为0，
当点P位于点B（3，8）时，
u取得最大值u=9+64=73．

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．