Question

设函数f（x）=log₂x-log_x2 （0＜x＜1），数列{a_n}满足f(2an)=2n(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）判定数列{a_n}的单调性．

Answer 1

分析：（1）f（x）=log₂x-log_x2=log2x-

1

log2x

，log22an-

1

log22an

= an -

1

an

=2n，由a_n²-2na_n-1=0，可求出数列{a_n}的通项公式．
（2）an=n-

n2+1

=-

1

n+ n2+1

，an+1=-

1

n+1+ (n+1)2+1

＞-

1

n+ n2+1

=an，由此能够判定数列{a_n}的单调性．

解答：解：（1）f（x）=log₂x-log_x2=log2x-

1

log2x

，
f(2an)=2n(n∈N*)．
即log22an-

1

log22an

= an -

1

an

=2n，
a_n²-2na_n-1=0，此时0＜2an＜1，a_n＜0，∴an=n-

(n2+1)

．
（2）an=n-

n2+1

=-

1

n+ n2+1

，
an+1=-

1

n+1+ (n+1)2+1

＞-

1

n+ n2+1

=an，
即：a_n+1＞a_n，
∴{a_n}单调递增．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．