Question

函数f(x)=

1

3

x3-ax2+x+1在（1，2）上单调递减，则a的取值范围是（　　）

• A．（-∞，1]
• B．(-∞，

  5

  4

  ]
• C．[

  5

  4

  ，+∞)
• D．[1，+∞）

Answer 1

分析：由题意可得f′（x）=x²-2ax+1≤0在（1，2）上恒成立，即 a≥

x2+1

2x

=

1

2

（x+

1

x

）在（1，2）上恒成立．利用单调性求出

1

2

（x+

1

x

）最大值为

1

2

（2+

1

2

）=

5

4

，从而得到a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=

1

3

x3-ax2+x+1在（1，2）上单调递减，
∴f′（x）=x²-2ax+1≤0在（1，2）上恒成立．
即 a≥

x2+1

2x

=

1

2

（x+

1

x

）在（1，2）上恒成立．
由于函数y=

1

2

（x+

1

x

）在（1，2）上单调递增，故

1

2

（x+

1

x

）最大值为

1

2

（2+

1

2

）=

5

4

，故a≥

5

4

，
故选C．

点评：此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，属于基础题．