Question

对于定义在实数集上的两个函数，若存在一次函数使得，对任意的，都有，则把函数的图像叫函数的“分界线”。现已知（，为自然对数的底数），
（1）求的递增区间；
（2）当时，函数是否存在过点的“分界线”？若存在，求出函数的解析式，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）若递增区间为，若递增区间为，若，则递增区间为若递增区间为（2）存在函数的图像是函数过点的“分界线”。

试题分析：（1），
由得
①若，则，此时的递增区间为；
②若，则或，此时的递增区间为；
③若，则的递增区间为；
④若，则或，此时的递增区间为。
（2）当时，，假设存在实数，使不等式对恒成立，
由得到对恒成立，
则，得，
下面证明对恒成立。
设，，，
且时，，，
时，，
所以，即对恒成立。
综上，存在函数的图像是函数过点的“分界线”。
点评：第一小题求单调区间针对于不同的值对应不同的极值点，因此需对值分情况讨论以求单调性；第二问在正确理解给定信息的基础上将问题转化为不等式恒成立问题，进而转化为函数最值，可利用导数这一工具求解