题目内容

（1）计算：C₃³+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
（2）证明：A_n^k+kA_n^k-1=A_n+1^k．

（1）∵C_mⁿ+C_m-1ⁿ=C_mⁿ⁺¹，
∴原式=C₄⁴+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
=C₅⁴+C₅³+C₆³+…+C₁₀³
=C₆⁴+C₆³+C₇³+…+C₁₀³
=…
=C₁₀⁴+C₁₀³
=C₁₁⁴
=330
（2）证明：∵

A

nm

=

n!

(n-m)!

∴左边=

n!

(n-k)!

+k

n!

(n-k+1)!

=

n![(n-k+1)+k]

(n-k+1)!

=

(n+1)!

(n-k+1)!

=A_n+1^k=右边

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在二项式定理这节教材中有这样一个性质：C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³+…C_nⁿ=2ⁿ，n∈N
（1）计算1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³的值方法如下：
设S=1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³又S=4•C₃³+3•C₃²+2•C₃¹+1•C₃⁰
相加得2S=5•C₃⁰+5•C₃¹+5•C₃²+5•C₃³即2S=5•2³
所以2S=5•2²=20利用类似方法求值：1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²，1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴
（2）将（1）的情况推广到一般的结论，并给予证明
（3）设S_n是首项为a₁，公比为q的等比数列{a_n}的前n项的和，求S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+S₄C_n³+…+S_n+1C_nⁿ，n∈N．

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