题目内容

（1）计算：C₃³+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
（2）证明：A_n^k+kA_n^k-1=A_n+1^k．

解：（1）∵C_mⁿ+C_m-1ⁿ=C_mⁿ⁺¹，
∴原式=C₄⁴+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
=C₅⁴+C₅³+C₆³+…+C₁₀³
=C₆⁴+C₆³+C₇³+…+C₁₀³
=…
=C₁₀⁴+C₁₀³
=C₁₁⁴
=330
（2）证明：∵ $\text{[math]}$
∴左边= $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=A_n+1^k=右边
分析：（1）先把C₃³化为C₄⁴，再根据组合数的性质，C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，逐个化简，即可求出C₃³+C₄³+C₅³+…+C₁₀³
的值．
（2）把左右两边分别用排列数公式，A_n^m= $\text{[math]}$ 化简，再判断化简后得式子相等即可．
点评：本题考查了排列数公式和组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．

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相加得2S=5•C₃⁰+5•C₃¹+5•C₃²+5•C₃³即2S=5•2³
所以2S=5•2²=20利用类似方法求值：1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²，1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴
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