Question

直线l与抛物线y²=ax（a＞0）交于A、B两点，则以线段AB为直径的圆经过抛物线顶点O的充要条件是（ ）
A．|OA|=|OB|
B．AB垂直x轴
C．l经过抛物线的焦点F₁
D．l过定点Q（a，o）

Answer 1

【答案】分析：设l方程为x=ty+m与抛物线方程联立得y²-aty-am=0，利用以AB为直径的圆过原点，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而求出定点坐标的充要条件．
解答：解：设l方程为x=ty+m联立 得y²-aty-am=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）则
∴x₁x₂=•=m²，
∵以AB为直径的圆过原点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m²-am=0，∴m=a，∴Q的坐标为（a，0）．
反之，当l过定点Q（a，0）时，同样可得x₁x₂+y₁y₂=0，从而以线段AB为直径的圆经过抛物线顶点O．
故选D．
点评：本题主要考查抛物线的简单性质、必要条件、充分条件与充要条件的判断，同时考查恒过定点问题，注意挖掘题目隐含，将问题等价转化．