Question

7．设a，b是正实数，且a+b=1，记$x=ab，\;y=（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}{b}}）$．
（1）求y关于x的函数关系式f（x），并求其定义域I；
（2）若函数g（x）=$\sqrt{k•f（x）-1}$在区间I内有意义，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先化简函数，然后利用x=ab表示成f（x）的形式，利用换元法即可求出函数的定义域．
（2）根据函数成立的条件转化为不等式恒成立，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）y=ab+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{ab}$=ab+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$+$\frac{1}{ab}$=ab+$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$+$\frac{1}{ab}$=ab+$\frac{1-2ab}{ab}$+$\frac{1}{ab}$
=ab+$\frac{2}{ab}$-2=x+$\frac{2}{x}$-2，
∵a，b是正实数，且a+b=1，
∴x=ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
即0＜x≤$\frac{1}{4}$，
则f（x）的定义域为（0，$\frac{1}{4}$]．
（2）若函数g（x）=$\sqrt{k•f（x）-1}$在区间I内有意义，
则kf（x）-1≥0，
∵函数f（x）=x+$\frac{2}{x}$-2，在（0，$\frac{1}{4}$]上单调递减，
∴f（x）≥f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{25}{4}$，
则kf（x）-1≥0等价为k≥$\frac{1}{f（x）}$，
∵f（x）≥$\frac{25}{4}$，
∴0＜$\frac{1}{f（x）}$≤$\frac{4}{25}$，
即k≥$\frac{4}{25}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数定义域 的求解和应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．