Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数，为常数）．

（）若函数，在区间上单调递减，求的取值范围．

（）当时，判断函数在上是否有零点，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）有

【解析】分析：（1）先求导数，再根据导函数在区间上恒非正，转化为求导函数最大值，利用二次求导得导函数单调性，即得导函数最大值，可得的取值范围．（2）先分离变量得，再利用导数研究不等式是否恒成立，结合导数以及零点存在定理可得不等式恒成立.

详解：解：（）由得，

∴，

即，

∴，

∴，；

∴，

∴在上单调递减，

又在上单调递减；

∴，

∴，

即实数的取值范围是．

（）假设函数在区间上有零点，即存在，使得，

即，

记．

①若，则，即，

由于，有，

即证在上恒成立，

令，，

则，，

当时，，

当时，，

∴当时，单调递减，

当时，单调递增．

而，，，

∴在上存在唯一的实数，使得，

∴在上单调递增，在上单调递减，

而，，

∴在上恒成立，即恒成立，

②若，则，即，

由于，有，即证在恒成立，

令，则，，

当，，单调递减；

当，，单调递增，

而，，

∴在上存在唯一的实数，使得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又，，

故在上成立，即成立，

综上所述，当时，函数在区间上有零点．