Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，F为棱PA上一点，且，M为AD的中点，四棱锥的体积为．

（1）若，N是PB的中点，求证：平面平面PCD；

（2）是否存在，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）存在，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为

【解析】

（1）由已知有，,即可证明平面PCD；

（2）建立以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴建立空间直角坐标系，则可得FMN的法向量为，取面PAD的法向量，由向量的数量积公式计算可得解.

解：（1）因为，所以F是AP的中点，又因为N是PB的中点，所以，由四边形ABCD是矩形，得，故，

；

（2）连接PM，过M作交BC于E，由是等边三角形，得，，以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴建立空间直角坐标系，

假设存在，满足题意，设，，则，，，，，，则，

设面FMN的法向量为，所以，

取，得，取面PAD的法向量，

由题知：，解得，

所以，存在，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为