Question

【题目】已知函数，为的导数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；

（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程。

（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案。

（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解。

（Ⅰ），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，则.

当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，故在存在唯一零点.

所以在存在唯一零点.

（Ⅲ）由已知，转化为， 且的对称轴所以 .

由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，所以当时，.

所以，即，因此，的取值范围是.