Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，且sin(α+β)=

5

13

，tan

α

2

=

1

2

．
（1）求cosα的值；
（2）证明：cosβ＜-

1

5

．

Answer 1

（1）cosα=cos2

α

2

-sin2

α

2

=

cos2 α 2 -sin2 α 2

cos2 α 2 +sin2 α 2

=

1-tan2 α 2

1+tan2 α 2

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

…（6分）
（2）证明：因为0＜α＜

π

2

＜β＜π易得

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
又sin(α+β)=

5

13

 所以cos(α+β)=-

12

13

，…（8分）
由（1）可得sinα=

4

5

，
所以cosβ=cos[(α+β)-α]=-

16

65

＜-

1

5

…（10分）