Question

设P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为______．

Answer 1

∵椭圆方程是

x2

25

+

y2

16

=1，
∴a²=25，b²=16．可得a=5，c²=25-16=9，即c=3．
∵P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=10…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=6
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=36
即PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=36…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=

64

3

根据正弦定理，得△PF₁F₂的面积为：S=

1

2

PF₁•PF₂sin60°=

16 3

3

故答案为：

16 3

3