Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，点D是A₁C的中点．
（I）求A₁B₁与AC所成的角的大小；
（II）求证：BD⊥平面AB₁C；
（III）求二面角C-AB₁-B的大小．

Answer 1

分析：（法一）
（ I）由异面直线所成角的定义，考虑AB∥A₁B₁，∠BAC是A₁B₁与AC所成的角．然后在直角三角形ABC中可求∠BAC
（II）由AA₁⊥平面ABC，考虑取AC的中点E，则DE∥AA₁．从而可得DE⊥平面ABC．利用三垂线定理可得BD⊥AC，同理可证BD⊥B₁C，结论可证．
（III）利用定义法：考虑到AB=BB₁，故取AB₁中点F，连接CF，BF可得BF⊥AB₁，由已知可知AC=BC₁同理可得CF⊥AB₁．
则∠BFC为二面角C-AB₁-B的平面角，在Rt△BFC中求解即可
（法二）
（I）同法一
（II）分别以BA、BC、BB₁为x轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系B-xyz，）要证明BD⊥平面AB₁C只有证明
BD⊥AC，BD⊥AB₁，利用向量的知识转化为证明

BD

•

AC

=0①    

BD

• 

AC1

 =0②，通过证明①②即可
（III）由题意可得

BC

是平面ABB₁的一个法向量，

BD

是平面AB₁C的一个法向量，代入公式cosθ=

BD • BC

| BD || BC

可求．

解答：解：法一：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB．
∴∠BAC是A₁B₁与AC所成的角．（2分）
在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°．（3分）
∴A₁B₁与AC所成角为45°．（4分）

（II）取AC中点E，连接DE，BE，∵D是A₁C的中点，则DE∥AA₁．
∵AA₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
则BE是BD在平面ABC内的射影．（6分）
∵AB=BC，∴BE⊥AC．∴BD⊥AC．（7分）
同理可证BD⊥B₁C．（8分）
又AC∩B₁C=C，∴BD⊥平面AB₁C．（9分）
（III）取AB₁中点F，连接CF，BF，（10分）
AB=BB₁，∴BF⊥AB₁∵AC=B1C=

2

，∴CF⊥AB₁．
则∠BFC为二面角C-AB₁-B的平面角．（12分）
在Rt△BFC中，BF=

2

2

，BC=1，∠FBC=90°，
则tanBFC=

2

．（13分）
∴∠BFC=arctan

2

．（14分）
即二面角C-AB₁-B的大小为arctan

2

．

法二：（I）同法一．
（II）建立空间直角坐标系B-xyz，如图，
则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），A₁（1，0，1），D（

1

2

，

1

2

，

1

2

)．（6分）
则

BD

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

AC

=(-1，1，0)，

AB1

=(-1，0，1)．∴

BD

•

AC

=0，

BD

•

AB1

=0．（8分）
∴BD⊥AC，BD⊥AB₁，且AC∩AB₁=A．∴BD⊥平面AB₁C．（9分）

（III）∵BC⊥BB₁，BC⊥AB，AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面ABB₁．
∴

BC

=(0，1，0)是平面ABB₁的法向量．（11分）
由（II）可知

BD

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)是平面AB₁C的法向量．
cos＜

BC

，

BD

＞=

BC • BD

| BC || BD |

=

1 2

3 2

=

3

3

．（13分）
即二面角C-AB₁-B的大小为arccos

3

3

．（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系中的垂直关系：利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的运用；异面直线所成的角的求解，要注意异面直线成角的范围：(0，

π

2

]；二面角的度量：二面角的平面角的作法①空间向量法，转化为求两个法向量的夹角的求解②定义法，利用空间向量的知识解决几何中的量，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力