Question

20．在平面直角坐标系xOy中．圆C：（x-1）²+y²=5和y轴的负半轴相交于A点，点B在圆C上（不同于点A），M为AB的中点．且|OA|=|OM|，则点M的纵坐标为$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得O、A、M、C四点共圆，则此圆的直径为AC=$\sqrt{5}$，|OA|=|OM|=2，利用正弦定理求得sin∠OCM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．再根据∠OCM+∠OAM=π，可得sin∠OAM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，可得cos∠OAM=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{AM}{2}}{OA}$，求得AM的值．作MH⊥OA，H为垂足，直角三角形AMH中，由cos∠OAM=$\frac{AH}{AM}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，求得AH的值，可得OH的值，从而得出结论．

解答 解：由题意可得A（0，-2），C（1，0），且CM⊥AB，O、A、M、C四点共圆，则此圆的直径为AC=$\sqrt{5}$．
根据M为AB的中点，且|OA|=|OM|=2，利用正弦定理可得$\frac{OM}{sin∠OCM}$=$\frac{2}{sin∠OCM}$=2R=$\sqrt{5}$，
求得sin∠OCM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
根据∠OCM+∠OAM=π，可得sin∠OAM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，∴cos∠OAM=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{AM}{2}}{OA}$=$\frac{AM}{4}$，∴AM=$\frac{4}{\sqrt{5}}$．
作MH⊥OA，H为垂足，
直角三角形AMH中，∵cos∠OAM=$\frac{AH}{AM}$=$\frac{AH}{\frac{4}{\sqrt{5}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，∴AH=$\frac{4}{5}$，∴OH=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，
即点M的纵坐为$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．