Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，点D在BC上，AD⊥C₁D．
①求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
②求证：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

证明：①因为AA₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，
所以CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
则CC₁⊥AD，又DC₁⊥AD，CC₁∩DC₁=C₁
所以AD⊥平面BCC₁B₁．
②连接A₁C交AC₁于点O，连接OD，O为AC₁的中点，由（1）知AD⊥BC，
又△ABC为正三角形，所以D为BC的中点，OD为△A₁BC的中位线．故OD∥A₁B
又OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．
分析：①由三棱柱的几何特征，结合侧棱AA₁⊥平面ABC，易得CC₁⊥平面ABC，结合线面垂直的性质可得CC₁⊥AD，又DC₁⊥AD，根据线面线面垂直的判定定理，即可得到AD⊥平面BCC₁B₁；
②连接A₁C交AC₁于点O，连接OD，O为AC₁的中点，由①的结论可得AD⊥BC，由已知中，△ABC是正三角形，根据三角形中位线定理，可得OD∥A₁B，再由线面平行的判定定理，即可得到A₁B∥平面ADC₁．
点评：本题考查的知识是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面垂直及平行的判定、性质、定义、几何特征，及直三棱柱的几何特征，是解答本题的关键．